ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 7359CA98 из 150

Треугольники, окружности, четырёхугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Если три угла одного треугольника равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Две окружности пересекаются, если радиус одной из них больше радиуса другой.
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 7359CA.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Если три угла одного треугольника равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Утверждение 2: Две окружности пересекаются, если радиус одной из них больше радиуса другой.
Утверждение 3: Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Если три угла одного треугольника равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.»

Равенства двух соответствующих углов уже достаточно для подобия треугольников. В утверждении равны все три пары углов, поэтому признак подобия по двум углам заведомо выполнен. Следовательно, треугольники подобны.

Утверждение 1: поясняющий пример

Равносторонние треугольники со сторонами 2 и 3 имеют по три угла 60° и подобны с коэффициентом 3/2.

k

=\frac32

Верно. Не заменяйте слово «подобны» словом «равны»: равенство размеров из углов не следует.

Сравнение двух фигур: указанные длины и углы относятся к этим примерам.

Утверждение 2: разбираем правило

«Две окружности пересекаются, если радиус одной из них больше радиуса другой.»

Взаимное положение окружностей зависит не только от радиусов, но и от расстояния между центрами. Разные радиусы не гарантируют пересечения. Можно взять окружности с одним центром: меньшая окажется внутри большей и общих точек не будет.

Утверждение 2: контрпример

Две концентрические окружности радиусов 2 и 1 не пересекаются, хотя один радиус больше другого.

R

=2>1

=r,\quad O_1

=O_2

Неверно. Для двух общих точек нужно |R − r| < d < R + r, где d — расстояние между центрами.

Контрпример: концентрические окружности разных радиусов.

Утверждение 3: разбираем правило

«Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.»

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ . В утверждении пропущено деление суммы на 2. Из-за этого предлагаемая длина получается вдвое больше правильной.

Утверждение 3: контрпример

При основаниях 6 и 2 средняя линия равна 4, тогда как сумма оснований равна 8.

m

=\frac{6+2}{2}

=\frac{8}{2}

Считаем числитель: $6+2=8$ .

=4

6

+2

=8

4\ne8

Неверно. Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Равенства двух соответствующих углов уже достаточно для подобия треугольников.
Взаимное положение окружностей зависит не только от радиусов, но и от расстояния между центрами.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ .

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не заменяйте слово «подобны» словом «равны»: равенство размеров из углов не следует.
Для двух общих точек нужно |R − r| < d < R + r, где d — расстояние между центрами.
Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Треугольники, окружности, четырёхугольники