Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ EA167242 из 150

Прямые и углы, четырёхугольники, треугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

  2. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

  3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание EA1672.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
Утверждение 2
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Утверждение 3
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.»

Смежные углы в сумме равны 180°. Если один угол меньше 90°, то после его вычитания из 180° останется больше 90°. Поэтому смежный с острым угол будет тупым.

Утверждение 1: контрпример

Если острый угол равен 30°, смежный равен 150°.

180180−30-30=150∘=150^\circ
150∘>90∘150^\circ>90^\circ

Неверно. Смежный с острым угол — тупой, а не острый.

К утверждению 1: контрпример

Взаимное расположение прямых и углов.
Обозначения на чертеже
  • ∠BOC = ∠AOD = 30° — вертикальные
  • ∠AOC = 150° — смежный с углом BOC
Взаимное расположение прямых и углов.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.»

Прямоугольник является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся пополам. Если AC и BD пересекаются в O, то AO = OC и BO = OD. Это свойство верно у каждого прямоугольника независимо от отношения его сторон.

Утверждение 2: поясняющий пример

На схеме точка O — общая середина обеих диагоналей.

AOAO=OC,BO=OC,\quad BO
=OD=OD

Верно. Кроме деления пополам, у прямоугольника диагонали ещё и равны, но для данного утверждения достаточно первого свойства.

К утверждению 2: пример

Прямоугольник со сторонами 4 и 2.
Обозначения на чертеже
  • AB = 4; BC = 2
  • AC = BD = 2√5
  • O — середина обеих диагоналей
Прямоугольник со сторонами 4 и 2.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.»

В прямоугольном треугольнике c² = a² + b²; сама гипотенуза не равна сумме катетов. Теорема Пифагора связывает квадраты сторон. Кроме того, по неравенству треугольника гипотенуза строго меньше суммы катетов.

Утверждение 3: контрпример

Для катетов 3 и 4 гипотенуза равна 5, а сумма катетов — 7.

cc=32+42=\sqrt{3^2+4^2}
=5=5
33+4+4=7=7
5≠75\ne7

Неверно. Нельзя убирать квадраты из теоремы Пифагора, просто складывая длины.

К утверждению 3: контрпример

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Обозначения на чертеже
  • CA = 4; CB = 3; AB = 5
Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Верно
Утверждение 3Неверно
Ответ2

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Смежные углы в сумме равны 180°.
  • Прямоугольник является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся пополам.
  • В прямоугольном треугольнике c² = a² + b²; сама гипотенуза не равна сумме катетов.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Смежный с острым угол — тупой, а не острый.
  • Кроме деления пополам, у прямоугольника диагонали ещё и равны, но для данного утверждения достаточно первого свойства.
  • Нельзя убирать квадраты из теоремы Пифагора, просто складывая длины.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)